Tanaisie et la Suite de Fibonacci

Je m’appuie sur la fleur de la tanaisie (Tanacetum vulgare, famille des Astéracées) que je vous ai présenté la dernière fois et qui observée sur le dessus, a la particularité d’avoir ses fleurons disposés en forme de spirale.

Au centre, une sorte de puits sans fond d’où semble émerger les fleurons.

La surface plate est en grande partie occupée par les fleurons encore fermés. En forme de pentagones, ils esquissent la fleur à cinq pétales.

Sur le pourtour les fleurons sont éclos. Nous ne sommes plus en partie plate, la fleur passe progressivement en forme semi-sphérique, phase ultime de la fleur entièrement ouverte, comme ci-dessous.

Mon étude porte donc sur une fleur dans sa jeunesse qui présente une grande surface plate de fleurons fermés. Son observation montre une structure en hélice dont l’orientation vers la droite est nettement visible. J’ai marqué par une croix bleue chaque fleuron en me limitant à une ligne sur deux pour rendre plus lisible la structure en hélice (photo de gauche). La première remarque est que le nombre de lignes est impair. En effet dans le bas de la fleur la ligne non marquée se divise en deux à mi- rayon.  Au total nous avons donc 2 x 6 lignes + 1 ce qui nous donne 13 lignes au total.

Ensuite je fais la même opération dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, photo de droite. La même structure est facilement mise en évidence avec toujours deux lignes contigües non marquées en bas. Chose curieuse cette fois il y a beaucoup plus de lignes : 10 x 2 + 1 soit 21 lignes. Étrange !

Italien né à Pise, Leonardo Fibonacci est le fils d’un notaire public des douanes pour le compte de l’ordre des marchands. Leonardo suit son père à BéjaÏa (Algérie actuelle), grand centre commercial et intellectuel où il commence son éducation, en particulier mathématique. Il parcourt tout le pourtour méditerranéen pour son père. Il parfait ses connaissances en rencontrant de nombreux mathématiciens. Il aurait introduit les chiffres arabes à Pise. Il a écrit de nombreux ouvrages.

Ce mathématicien de la première moitié du XIIIe Siècle a mis au point une suite de nombres restée célèbre, chaque d’entre eux étant la somme des deux précédents, en débutant par 0 et 1. Ce qui donne 0 – 1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 etc.

A remarquer que les deux nombres qui se suivent, 13 et 21, correspondent aux nombres de lignes vues précédemment. Voilà un premier constat.

Cette liste a de multiples applications. L’une d’entre elles va me servir dans le cas qui m’intéresse. Elle permet de tracer géométriquement la spirale parfaite à l’aide de carrés juxtaposés dont la longueur des côtés correspond à la suite de Fibonacci.

J’ai fait une copie de la courbe ainsi obtenue pour l’amener sur une série de croix en l’adaptant aux dimensions tout en conservant les mêmes proportions. La première série de croix étant bien disposées, j’ai fait une série de copier – glisser – rotations pour avoir l’ensemble des lignes couvertes. Le résultat est parfait, à part de rares croix en dehors des courbes nous avons une excellente correspondance. Pour passer à la figure de droite, de sens inverse des aiguilles d’une montre j’ai fait une copie d’une courbe, fait une transformation en symétrie sans changer les dimensions. Puis même opération que précédemment et même résultat.

En conclusion, les fleurons sont disposés selon des spirales du rectangle d’or. J’ai moi-même été surpris d’obtenir des résultats aussi spectaculaires. Ceci est vrai pour de nombreuses fleurs.

D’autres applications sont également possibles, en particulier concernant la disposition des feuilles. Dans le cas où elles sont alternes, il peut sembler que pour certaines espèces, elles sont installées tout autour de la tige de façon aléatoire. Mais en fait, cette disposition suit une autre règle, celle de l’angle d’or. La tanaisie ne s’y prête pas très bien, mais cela fonctionne très bien avec d’autres plantes. J’y reviendrai peut-être dans quelques temps.